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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学高等代数真题}}
\author{杨泽天}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\def\d{\mathrm{d}}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\maketitle
\section*{2018年高等代数}
\begin{problem}
    $g(x)=x^4+3x^2+12$ ，$f(x)$ 在有理数域上不可约，复数域上 $f(x),g(x)$ 有一公共复根，证明有一非零有理数 $c$ 
    使得 $f(x)=cg(x)$. 
\end{problem}

\begin{problem}
    欧式空间子空间 $W_1,W_2$ ,证明 $(W_1\bigcap W_2)^\bot =W_1\bot + W_2^\bot$. 
\end{problem}

\begin{problem}
    证明 $r(A)+r(A^3) \ge 2r(A^2)$ .
\end{problem}

\begin{problem}
    证明：(1) 负定矩阵主子式一定不为0,
    \newline
    (2)负定矩阵顺序主子式<0的充要条件是主子式的级数为偶数.
\end{problem}

\begin{problem}
    $r(A)=r$,$A$为$m\times n$矩阵，证明：
    \newline 
    (1) $\exists M_{m\times r},N_{r\times n}, r(M)=r(N)=r$,$A=MN$
    \newline 
    (2) 齐次线性方程组 $Ax=0$ 与 $Nx=0$ 同解.  
\end{problem}

\begin{problem}
    线性空间 $V$ 的线性变换 $\tau$ ， $\tau^{n-1} \ne 0$ , $\tau^n=0$,证明：
    \newline 
    (1) $\tau$ 的特征值 为 $0$
    \newline
    (2) $V$ 不能分解为两个非平凡子空间的直和. 
\end{problem}
\end{document}